CÁSCARAS DE REVOLUCION BAJO CARGAS AXISIMETRICAS (II)

La condición de que la suma de las fuerzas en la dirección y deben ser iguales a cero es cumplida por las primeras dos y el ultimo termino de la expresión anterior especificados con la ecuación 5.2, el tercer termino es debido a las fuerzas de corte Qφ ·r ·dθ 0 sobre las caras AC y CD del elemento, estas caras forman un ángulo dφ una con otra.

CÁSCARAS DE REVOLUCION BAJO CARGAS AXISIMETRICAS (I)

Vamos a considerar un cuerpo en la forma general de una cáscara de revolución sujeta a una carga simétrica rotacional, la esfera, cono y cilindro circular (sección 6.6) son geometrías típicamente simples en esta categoría. Comenzaremos definiendo el estado de resultante de tensión actuando en un punto de tal cáscara, representado por un elemento infinitesimal en la Figura 6.6. Condiciones de criterio de simetría que solamente las resultantes φ Q , θ M , φ M , θ N existen, y que las fuerzas normales θ N y el momento de flexión θ M no puede variar con θ . La rotación para el radio de curvatura y la orientación angular son idénticas en la teoría de la membrana (Figura 6.2)

El desarrollo de las ecuaciones de equilibrio de un elemento común ABCD procediendo de una manera similar al que se ha descrito en la sección 5.4.

CASO TÍPICO DE UNA CÁSCARA CILÍNDRICA CARGADA AXISIMETRICAMENTE - Ejemplo

un cilindro bastante largo de radio a es sujeto a una carga uniforme P sobre su longitud L (Figura 6.5), deducir una expresión para la deflexión de un punto arbitrario O dentro la longitud L.

CASO TÍPICO DE UNA CÁSCARA CILÍNDRICA CARGADA AXISIMETRICAMENTE (VI)

Las expresiones con las tensiones máximas axiales y circunferencial en el cilindro, respectivamente.
Se observa que con cada valor en las ecuaciones 6.22, las ecuaciones 6.23 decrecen con el incremento de βx. Por este motivo en muchas aplicaciones de la ingeniería, los efectos de cargas concentradas pueden ser despreciados en localizaciones para el cual x > (π /β ) , además se puede concluir que la flexión es de un componente local. Una cáscara de longitud L = 2π /β , cargado en media longitud, experimenta la máxima deflexión y momento flexiónante idénticamente cerca si se tomara como una cáscara larga.
Aplicaciones de las ecuaciones 6.23 juntamente con el principio de superposición permite la determinación de resultantes de deflexión y tensión en cilindros largos bajo cualquier otro tipo de carga.

CASO TÍPICO DE UNA CÁSCARA CILÍNDRICA CARGADA AXISIMETRICAMENTE (V)

Estas expresiones son validas para x ≥ 0 , para la mitad izquierda del cilindro, se toma x en la dirección opuesta al que se muestra en la Figura 6.4, la máxima deflexión y momento ocurre en x = 0 , dado por las ecuaciones 6.23 son entonces

CASO TÍPICO DE UNA CÁSCARA CILÍNDRICA CARGADA AXISIMETRICAMENTE (IV)

Las siguientes notaciones son usadas mas convenientemente, representan las expresiones para resultantes de deflexión y tensión:

CASO TÍPICO DE UNA CÁSCARA CILÍNDRICA CARGADA AXISIMETRICAMENTE (III)

Esta describe los requerimientos respectivos de cada mitad del cilindro cargado de media mitad de carga externa y la inclinación se pierde en el centro perteneciente a la simetría. Introduciendo las ecuaciones (a) en la ecuación 6.18 y x = 0 , tenemos

CASO TÍPICO DE UNA CÁSCARA CILÍNDRICA CARGADA AXISIMETRICAMENTE (II)

Sin embargo cono Nx = 0 , las ecuaciones 6.10a y 6.11 nos da

CASO TÍPICO DE UNA CÁSCARA CILÍNDRICA CARGADA AXISIMETRICAMENTE (I)

Esta sección tratara en los problemas de flexión de un cilindro con una longitud bastante grande comparado con su diámetro, el llamado cilindro infinito, sujeto a una carga P uniformemente distribuida a lo largo de una sección circular (Figura 6.4). Sin embargo como no es presión distribuida Pr sobre la superficie de la cáscara y Nx = 0 , establecemos f (x) = 0 en la ecuación 6.16, la solución puede ser escrita como sigue

CÁSCARAS CILÍNDRICAS CIRCULARES CARGADAS AXISIMETRICAMENTE (VI)

Presentando la solución particular wp, se puede notar que el resultado de la teoría de la membrana puede ser siempre considerada como una solución particular de la ecuación de la teoría de flexión.

La solución de la ecuación 6.15b puede por lo tanto escribirse

CÁSCARAS CILÍNDRICAS CIRCULARES CARGADAS AXISIMETRICAMENTE (V)

La solución homogénea de la ecuación 6.15b es dado por

CÁSCARAS CILÍNDRICAS CIRCULARES CARGADAS AXISIMETRICAMENTE (IV)

donde el parámetro geométrico β tiene la dimensión de L-1, el reciproco de longitud.
Las ecuaciones 6.10b o 6.13 y 6.10a representan condiciones de gobernabilidad de desplazamiento para una cáscara cilíndrica circular cargada simétricamente. Cuando una carga axial no existe, Nx = 0 , las ecuaciones 6.10 se simplifican a

La primera de estas, integrando directamente da u. La expresión 6.15b es una ecuación diferencial ordinaria con coeficientes constantes, y también representa la ecuación de una viga de rigidez flexiónante D, resistiendo en una fundación elástica y sujeto a una carga Pr.

CÁSCARAS CILÍNDRICAS CIRCULARES CARGADAS AXISIMETRICAMENTE (III)

Es interesante hacer notar que la ecuación 6.9c es un estado de la relación física de viga: la fuerza cortante es la primera en deducirse del momento de flexión. De la ecuación 6.9a la fuerza axial Nx es

CÁSCARAS CILÍNDRICAS CIRCULARES CARGADAS AXISIMETRICAMENTE (II)

Suprimiendo simplificaciones, solamente tres de las seis ecuaciones de equilibrio del elemento cáscara permanecerán satisfechos. Suponemos también que la carga externa es como se muestra en la Figura 6.3. El equilibrio en la dirección (axial) x y dirección (radial) z ahora requiere que

CÁSCARAS CILÍNDRICAS CIRCULARES CARGADAS AXISIMETRICAMENTE (I)

Tubos, tanques, calderas y varios otros recipientes bajo presión interna ejemplifican cáscaras cilíndricas cargadas axisimetricamente, pertenecientes a la simetría, un elemento cortado de un cilindro de radio a, puede tener actuando sobre ella solamente las tensiones resultantes mostrados en la Figura 6.3: Nθ, Mθ, Nx y Qx. Además, la fuerza circunferencial y momento, Nθ y Mθ no varía con θ. Los desplazamientos circunferenciales υ se pierden y necesitamos considerar solamente los desplazamientos x, y, u y w.

ENERGIA DE DEFORMACION EN LA FLEXIÓN Y ALARGAMIENTOS DE CÁSCARAS (II)

Introduciendo las ecuaciones 6.3 dentro la expresión de arriba nos conduce a la siguiente forma envolviendo las deformaciones y constantes elásticas.

Las expresiones 6.7, 2.8 permite evaluar rápidamente la energía para un número de cáscaras comúnmente encontradas de forma regular y carga regular. La energía de deformación juega un importante rol en el tratamiento de problemas de flexión y pandeo.

ENERGIA DE DEFORMACION EN LA FLEXIÓN Y ALARGAMIENTOS DE CÁSCARAS (I)

Las ecuaciones para placas sobre aplicaciones de tensiones y deformaciones apropiadas nos guían a la expresión de una energía de deformación para las cáscaras. Como en la flexión de placas convenimos que las deformaciones cortantes transversales (γxy, γyz) y la tensión normal σz se pierden. Las componentes de energía de deformación de una cáscara deformada son la energía de flexión-deformación Ub y la energía de membranadeformación Um.

COMPONENTES DE TENSION EN UNA CÁSCARA

Ahora estamos en la posibilidad de expresar los componentes tensionales en una cáscara producida por las fuerzas y momentos. Para este propósito, sustituimos las tensiones y deformaciones de la ecuación 6.3 en las ecuaciones 6.2 con los resultados

El primer término de las ecuaciones claramente describe tensiones de membrana y el segundo termino, tensiones de flexión. Podemos observar que la distribución de las componentes de tensión σx, σy, y τxy dentro la cáscara es lineal.
Puede ser verificado como para placas o vigas, que las tensiones cortantes verticales son gobernadas por una distribución parabólica.

Estos valores, como en el caso de placas, son pequeños en comparación con los otros componentes de tensión.
Las relaciones juntamente las de tensión son de este modo idénticas para vigas, placas y cáscaras. Conociendo las resultantes de tensión, uno puede rápidamente computar la tensión en cualquier punto dentro una cáscara a través de la aplicación de las ecuaciones 6.4 y 6.3

RELACIONES DE FUERZA MOMENTO Y DESPLAZAMIENTO (V)

Aquí χxy designa la torsión del plano medio. Claramente, es representado el efecto de rotación de un elemento cáscara alrededor de una normal al plano medio, sustituyendo las ecuaciones (d), (e) y (f) en la ecuación (a), obtendremos

RELACIONES DE FUERZA MOMENTO Y DESPLAZAMIENTO (IV)

Donde χ representa el cambio de curvatura de la superficie media la unidad de elongación de cualquier distancia normal a la superpie media es entonces relacionado a la superficie media estirada y el cambio en curvatura asociado con deformación, para la dirección y, una expresión similar es obtenida

RELACIONES DE FUERZA MOMENTO Y DESPLAZAMIENTO (III)

Donde θ ξ X representa la deformación unitaria del plano medio de dirección x; rx’ es el radio de curvatura después de la deformación, y dsx, la longitud de la fibra de la superficie media. Sustituyendo las ecuaciones (c) en la ecuación (b), tenemos

En la cual rx es la sumatoria anterior a la deformación. Porque para el caso bajo el análisis t << rx , x 2 / r puede ser omitido. En adición, esto puede ser demostrado que su influencia de θ ξ X sobre curvatura es despreciable. Introduciendo las condiciones de despreciar las expresiones de arriba se vuelven.

RELACIONES DE FUERZA MOMENTO Y DESPLAZAMIENTO (II)

Primero vamos a determinar las deformaciones que aparecen en las expresiones de arriba. Encontraremos el elemento de cáscara deformada de la Figura 6.2, notando que la relación (3) de la sección 5.1, en los lados mn y m’n’ son líneas rectas. La figura mostrada de la superficie media alargada y el lado mn rotado con respecto a su configuración original. La unidad de elongación x ξ de una fibra de longitud lf, localizado en el plano xz a una distancia z de la superficie media, es dado por

RELACIONES DE FUERZA MOMENTO Y DESPLAZAMIENTO (I)

Las resultantes de tensión de las deformaciones de una cáscara σx, σy, y τxy deben ser evaluados en términos de deformaciones. Conveniendo que nuestra suposición, la tensión en la dirección de z es despreciado = 0 z σ . De acuerdo con la ley de Hooke es escrita

RESULTANTES DE TENSION DE CÁSCARAS (III)

Expresiones para el efecto de las tensiones resultantes por unidad de longitud son deducidas en una manera similar. Los esfuerzos mostrados en la Figura 6.1a son

RESULTANTES DE TENSION DE CÁSCARAS (II)

En la curvatura de cáscara, la longitud de cara de un elemento localizado a una distancia z de la superficie media no son simplemente dsx y dsy, la longitud medida sobre la superficie media, será mejor

RESULTANTES DE TENSION DE CÁSCARAS (I)

En la deducción de expresiones para las resultantes de tensión, que es, la resultante de fuerzas y mementos representando tensiones internas, consideramos un elemento infinitesimal (Figura 6.1a). Este elemento es definido por dos pares de planos, normal a la superficie media de la cáscara. El origen de un sistema de coordenadas cartesianas es localizado en una esquina del elemento, como se muestra, con los ejes x y y tangente a las líneas de curvatura principal, y z perpendicular a la superficie media.

TEORIA GENERAL O DE FLEXION EN CÁSCARAS

Como fue observado en el capitulo anterior, la teoría membranal no puede, en todos las condiciones, proporcionar soluciones compatibles con las condiciones reales de deformación. Esta teoría también falla al predecir el estado de tensión en sus límites y en ciertas otras áreas de la cáscara. Estos defectos son evitados con la aplicación de la teoría de flexión y considerando fuerzas membranales, fuerzas de corte y momentos que actúan sobre la estructura de la cáscara.

El desarrollo de las ecuaciones diferenciales que gobiernan para el plano medio de desplazamientos u, v, y w los cuales definen la geometría o deformaciones cinemáticas de una cáscara, un procedimiento como en el caso de placas. Nosotros comenzaremos por deducir las soluciones básicas ante los resultantes de tensión y deformación para cáscaras de forma general. En las secciones 6.4 y 6.5 serán desarrolladas las relaciones para la energía de tensión y deformación bajo una carga arbitraria. La teoría completa de flexión es matemáticamente complicada y la primera solución considerando las tensiones de flexión de cáscaras data solamente de 1920, en excepción de la sección 6.11 nos limitaremos a la consideración de los casos prácticos mas significativos envolviendo cargas simétricas rotacionalmente.