TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Roturas de Acción Elástica en Cáscaras Ejemplo 2 (II)

b) La teoría de máxima energía de distorsión (expresiones (g)), demuestra que las tensiones principales toman sus valores principales en diferentes localizaciones. La localización el cual combinando sus tensiones principales es critico si es acotado como sigue. Primero las ecuaciones (f) son sustituidas en las ecuaciones; ( ) yp

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Roturas de Acción Elástica en Cáscaras Ejemplo 2

Un tanque cónico es construido de hierro de tensión de fluencia yp σ en tensión y 3/2 yp σ en compresión (Figura 5.13) el tanque es llenado con un liquido de peso especifico γ y es apoyado en los bordes. Determine el espesor de su pared t usando un factor de seguridad N. aplicando a) la teoría de tensión principal, b) la teoría de la máxima energía de distorsión
Solución.- Expresiones para las tensiones circulares y longitudinales, son obtenidos de las ecuaciones 5.22, y son

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Roturas de Acción Elástica en Cáscaras Ejemplo 1

Un recipiente cilíndrico circular con los extremos cerrados esta sujeto a la presión interna P (Figura 5.21) el tubo es fabricado de un material teniendo un punto de fluencia de tensión yp σ . Determine el espesor t requerido de los extremos, recurriendo a las teorías de falla, y diseñe con los resultados.

Las relaciones entre las presiones internas y los espesores están dados por las ecuaciones (b) a (e) que es representado en la Figura 5.21 para v =1/ 3 si observamos que la teoría de la máxima tensión de corte es la mas conservativa; la teoría de la tensión máxima principal no conduce al mínimo resultado conservativo.

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Roturas de Acción Elástica en Cáscaras

Desde el punto de vista de diseño, esta claro que para propósitos prácticos, es necesario obtener las dimensiones propias de un miembro tal que puede resistir una carga prescrita sin sufrir fallas por rotura de acción elástica. Como ya se ha mencionado las dimensiones que han sido asignadas a un elemento cargado dependiendo de la teoría de la falla concerniente de cáscara de platificacion. Esto se ilustra en los ejemplos siguientes para dos casos particulares de estructuras de cáscaras.

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Cáscaras Cilíndricas de Forma General. Ejemplo (II)

de la segunda de las ecuaciones (b), observamos que C en la ecuación (e) representa el valor de la carga uniforme Xθ N cuando x = 0 , esta carga no esta presente porque el tubo es libre a la torsión, entonces C = 0 , la solución, de las ecuaciones (b) y (d) se escribe como sigue:

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Cáscaras Cilíndricas de Forma General. Ejemplo (I)

Un cilindro horizontal largo conducto es apoyado como se muestra en la Figura 5.20 y se llena toda su capacidad con liquido de peso especifico γ. Determine las fuerzas de membrana bajo las siguientes condiciones. a) es de longitud libre, con juntas de expansión en ambos extremos; b) ambos extremos son rígidamente fijados.

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Cáscaras Cilíndricas de Forma General. (II)

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Cáscaras Cilíndricas de Forma General. (I)

Una cáscara cilíndrica es formada por una línea recta, el generador, paralelo a la dirección inicial a lo largo de una trayectoria cerrada. El elemento en la Figura 5.19a es una cáscara cilíndrica de sección transversal arbitraria. Un elemento de cáscara esta producido por dos generadores adyacentes y dos planos normales al eje axial x, espaciados aparte por dx, este elemento descrito es localizado por las coordenadas x y θ.
Asumiendo que una carga no uniforme actúa sobre la cáscara. Entonces tenemos

Un diagrama de cuerpo libre de un elemento membranal conteniendo las fuerzas mostradas en la Figura 5.19b, los componentes x y θ de las fuerzas por unidad de área externos aplicados son denominados Px, Pθ y están indicados actuando en la dirección incrementada de x y θ. La componente radial o normal de carga Pr actúa en el sentido positivo, en la dirección interior. Las fuerzas de equilibrio en las direcciones x, θ y r es representado por.

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Cáscara de Revolución Bajo Carga de Viento Ejemplo I

Consideremos un protector de forma de hongo, una cáscara teniendo la forma de un cono circular, soportado por una columna en su vértice (Figura 5.18).
Encontrar las tensiones circulares, meridionales y corte si la cáscara es sometida a la presión del viento descrito por la ecuación 5.27
Solución.- Refiriéndonos a la Figura 5.18

Podemos ver en las ecuaciones 5.29a y 5.29b que las tensiones meridionales y corte crecen sin limite superior (s=0), como se espera en el punto de apoyo. Si podemos ver que las fuerzas resultantes verticales Ns y Nθφ transmitido en circulo paralelo aproximadamente la carga total de la cáscara cuando s=s1, aquí si es una longitud finita particular. Para evitar tensiones infinitas, la cáscara cónica debe ser asumida cono asegurada a la columna a lo largo de un circulo correspondiente a s1.

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Cáscara de Revolución Bajo Carga de Viento

Es usual representar cargas dinámicas tal como el viento y los efectos de terremotos por cargas estáticas equivalentes o cargas seudo estáticas para propósitos de diseño. La carga de viento sobre cáscaras esta compuesto de presión sobre el lado del viento y succión del lado de sotavento. Solamente la componente de carga actuando perpendicularmente a la superficie media Pz es considerado importante, componentes Px y Py debido a las fuerzas de fricción y de magnitud despreciable. Asumiendo por consideración de simplicidad de que el viento actúa en la dirección del plano meridiano φ = 0 , las componentes de presión del viento son como sigue:

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Cáscaras de Revolución Cargadas Asimétricamente

En la flexión de una cáscara de revolución bajo carga no simétrica, no solamente actúan las fuerzas normales Nφ y Nθ sino también fuerzas de corte Nφθ y Nθφ (Figura 5.16). para el equilibrio del momento se requiere que Nφθ = Nθφ como siempre es el caso de una cáscara delgada, la carga de superficie, referido al área unitaria de la superficie media, tiene componentes Px, Py y Pz las fuerzas de dirección x son como sigue

Las ecuaciones 5.26 permiten determinar las fuerzas de membrana en una cáscara de revolución, son cargas que pueden ser no simétricas, en general, varia con θ y φ, tal como el caso que se discretiza en la máxima sección.
Debemos notar que las ecuaciones que gobiernan el equilibrio para cáscaras esféricas, cónicas y cilíndricas pueden ser rápidamente deducidas de las ecuaciones 5.26 siguiendo el procedimiento idéntico como el que se ha descrito en la sección 5.5

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Deformación Axial Simétrica. Ejemplo (I)

Determine los desplazamientos de una lamina esférica (techo domo) cargado con su peso propio (figura 5.9a)
Solución.- Para la media esfera bajo esta consideración r1 = r2 = a , las tenciones dadas por la ecuación 5.13, σφ , y σθ y la ecuación 5.25 toma la forma

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Deformación Axial Simétrica.

Ahora discutiremos los desplazamientos en una cáscara de revolución cargada simétricamente considerando un elemento AB de longitud r1dφ de un meridiano en una cáscara no deformada. Permitiremos el desplazamiento en la dirección de una tangente al meridiano y en una dirección normal a la superficie media se designa por υ y ω, respectivamente como se muestra en la figura.

Después de la deformación, AB es desplazado a la posición A’B’, en el análisis siguiente es empleada la aproximación de deformaciones pequeñas y se desprecia las tensiones infinitesimales de orden superior.
La deformación experimentada por un elemento de longitud infinitesimal r1dφ puede ser considerado como compuesta de un incremento en longitud (dυ/dφ) dφ , perteneciente al desplazamiento tangencial, y un decremento en la longitud del elemento AB debido a la deformación es

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Ejemplo 6

Determine las fuerzas de membrana en un tanque esférico de deposito llenado con un liquido de peso especifico γ, y apoyado sobre un tubo cilíndrico

De las ecuaciones 5.23 y 5.24 se observa que ambas fuerzas Nφ y Nθ cambian valores abruptamente en el apoyo ( 0 φ φ = ). Una discontinuidad en Nθ produce una discontinuidad de la deformación del círculo paralelo sobre las inmediaciones de los lados de n-n, así la deformación asociada con la solución membranal no es compatible con la continuidad de la estructura en el apoyo n-n.

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Ejemplo 5 (II)

b) de acuerdo a la ley familiar de hidrostática, la presión de cualquier punto en la cáscara es igual al peso de una columna de unidad del área transversal del líquido en el punto. Para cualquier nivel arbitrario y, la presión es

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Ejemplo 5 (I)

analice las tensiones de membrana en un metal delgado contenedor de forma cónica, apoyado en la parte superior. Considere dos casos específicos a) La cáscara esta sujeta a una presión interna P b) la cáscara es llenado con un liquido de peso especifico γ mostrado a continuación

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Ejemplo 4 (I)

La Figura 5.12 representa un recipiente cilíndrico cerrado en la forma de un medio elipsoide de semiejes a y b. determinar las tensiones membranales resultantes de una presión de vapor interna P.

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Ejemplo 3

Considerando una cáscara en la forma de un domo de sección transversal circular esta sujeto a una presión externa P (Figura 5.11), se pide determine las tensiones membranales σθ y σφ.

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Ejemplo 2 (II)

b) para analizar las componentes de la carga de nieve Ps, usaremos un grupo de fuerzas actuando sobre la superficie media del elemento dF (Figura 5.10b), refiriéndonos a esta Figura, tenemos

dividiendo la ecuación 5.17 con t, los términos de membrana son obtenidos. Es interesante notar que las tres típicas cargas (peso por unidad de área, nieve carga por unidad de área plana y carga de viento por superficie de área) son de la misma orden. Para estructuras ordinarias esta fuerza es aproximadamente 150 a 200 Kg/m2.

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Ejemplo 2 (I)

Consideremos un domo planetario que puede ser aproximado como apoyado y en el borde cono truncado. Deduzca las expresiones para las fuerzas circulares y
meridianas para dos condiciones de carga. a) La cáscara carga solamente su peso propio P por unidad de área (Figura 5.10a), b) la cáscara soporta la carga de nieve que es asumida como uniformemente distribuida sobre el plano (Figura 5.10b)

como no hay fuerzas actuando en el borde superior, c=0 ahora las tensiones resultantes en la dirección s y θ pueden ser rápidamente obtenidos. Sustituyendo F y ecuación (d) en la ecuación 5.8

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Ejemplo (IV)

c).- muchos domos no son cerrados en la porción superior y tienen una linterna, una torre pequeña para iluminación, y ventilación. En este caso, un anillo reforzado es usado para soportar la estructura superior como se muestra en la Figura 5.9b. El Angulo correspondiente a la abertura es 0 2·φ y P es la carga vertical por unidad de longitud actuando en el anillo reforzado. La resultante de la carga total sobre la posición del domo sustentado por el ángulo φ ecuación (c), es dado.

Esta deformación contribuye a un cambio ξ φ θ ·a·Sen en el límite del radio. El apoyo simple mostrado en la figura, libre al movimiento como la cáscara se deforma bajo carga, asegura que no se produzca flexión en las proximidades del borde.

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Ejemplo (IV)

b).- la máxima tensión de compresión en el domo es σφ=Pa/t

sin la tensión de la resistencia del material es menor que 0.92 kg/cm2, una asignación de refuerzo se  requerirá para asegurar en diseño satisfactorio.
Sobre la aplicación de la ecuación (f) de la seccion 5.2, los niveles de tension en el cual ocurre pandeo local en el domo es dado por

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Ejemplo (III)

c) determine las tensiones en el domo el cual es truncado media esfera (Figura 5.9b)
Solución.- los componentes del peso del domo son

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Ejemplo (II)

b) Asumir que el domo semiesférico es construido de 20 mm de espesor de concreto de peso 2300 kg/m3 y una luz 2·a = 56 m. aplicando la teoría de máximas tensiones principales evalúe la habilidad de la cáscara a la resistencia a la falla por rotura. La fatiga de rotura del hormigón es fck=210 kg/cm2, y E=2.1x105 kg/cm2. también verifique la posibilidad de un pandeo local.

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Ejemplo (I)

Considere una cubierta domo de mercado simplemente apoyado de radio θ y espesor t, cargado solamente con un peso propio P por unidad de área. a) Determine la tensión, para un domo de geometría de media esfera (Figura 5.9).

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Casos típicos de Cáscaras de Revolución (II)

Cáscara Circular Cilíndrica.- 

para obtener los resultados de tensión en una cáscara circular cilíndrica, uno puede comenzar con las ecuaciones del cono, haciendo φ =π / 2 , z r P = P y el radio inferior a = r = ctte 0 , entonces las ecuaciones 5.8 se vuelven

De la ley de Hook, la extensión del radio de un cilindro bajo la acción de tenciones dadas arriba es

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Casos típicos de Cáscaras de Revolución (II)

b.- cáscara cónica.-

en este caso típico el ángulo φ es una constante ( = ∞ 1 r ) y no puede unir cono una coordenada sobre el meridiano. En su lugar introduciremos en coordenada s, la distancia de un punto de la superficie media, usualmente medido del vértice a lo largo del generador.

Si se observa que dado una carga externa distribuida, tensiones circulares y meridionales pueden ser realizados independientemente.

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Casos típicos de Cáscaras de Revolución (II)

este caso simple de una cáscara esférica sujeto a la solicitación presión interna constante de gas Pz como en balón. Ahora tenemos P = Pz , φ = 90º ; y F = −π ·a2 ·P , sin embargo como cualquier sección por medio del centro resulta en un idéntico cuerpo libre, Nφ = Nθ = N .
Las acciones, de ecuación 5.3, es de este modo

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Casos típicos de Cáscaras de Revolución (I)

Las tensiones de membrana en cualquier cáscara particular cargada axisimeticamente en la forma de una superficie de revolución puede ser determinada de las expresiones que gobiernan el equilibrio desarrollado en la sección precedente. Trataremos en los siguientes párrafos distintas membranas estructurales comunes.

a.- cáscara esférica.-

para cáscaras esféricas uno puede tener el radio inferior

TEORIA MEMBRANAL DE LAS CÁSCARAS - Cáscaras de Revolución Simétricamente Cargadas. (III)

Las ecuaciones 5.1 son suficientes para determinar la llamada fuerza circular Nθ y la fuerza meridional Nφ de los cuales las fatigas son inmediatamente determinadas. El resultado algebraico negativo indica fatigas de compresión.

Porque en su libertad de movimiento en la dirección z, para cargas axisimeticas de cáscaras de revolución consideradas, las deformaciones son producidas tal como las consecuentes en un campo de tensiones y compatibilidad uno con otro.
La acción citada demuestra la diferencia básica entre el problema de una cáscara membranal y una de tensión plana. En el último caso, una ecuación de compatibilidad es requerida. Sin embargo, esta claro que cuando la cáscara esta sujeta a la acción de fuerzas concentradas de superficie o contricciones en los apoyos, la teoría membranal no puede cumplir completamente en cualquier parte las condiciones de deformación. La solución completa es obtenida solamente aplicando la teoría de flexión.