Modelo Matemático De Un Grado De Libertad.

El concepto de grado de libertad está vinculado al de un movimiento (desplazamiento o giro) de un punto cualquiera de la construcción. Obviamente en una construcción hay infinitos puntos pero sus movimientos no son independientes porque están vinculados por los componentes de la estructura. En consecuencia se considera grado de libertad a todo movimiento independiente de un punto de la construcción. Esta definición parece absoluta pero al reflexionar un poco se advierte que es contingente ya que depende del propósito para el que se utilizará el “grado de libertad”.
El sistema modelo matemático de un grado de libertad es representado con la siguiente figura.

En la que se representa los siguientes elementos:
1. El elemento masa “m” representa el peso divido por la gravedad y la característica inercial de la estructura.
2. El elemento resorte “k” representa la fuerza de restitución elástica y la capacidad de la energía potencial de la estructura.
3. El elemento de amortiguación “c” representa la característica friccional y la perdida de energía de la estructura.
4. La fuerza de excitación “f(t)” representa las fuerzas externas actuando en el sistema estructural. La fuerza f(t) esta escrita de tal forma que indica que es función del tiempo.

Pasos En El Análisis Dinámico.

El análisis dinámico de una estructura comprende los siguientes pasos:
1.- Cuantificación de las acciones dinámicas a través de la elaboración de modelos matemáticos que los representen adecuadamente, estos pueden ser deterministicos y aleatorios.
2.- Definición del modelo estructural adecuado al estudio que se pretende realizar.
3.- Definición del modelo matemático que representa bajo el punto de absorción de energía y de deformación o comportamiento de la estructura.
4.- Solución y aplicación de las teorías de las vibraciones al estudio del comportamiento del modelo para la solución de las ecuaciones diferenciales del
movimiento y la obtención de los factores de amplificación, con el objetivo. De cuantificar los desplazamientos, velocidades, aceleraciones, reacciones de apoyo,
esfuerzos solicitantes, etc. Estos se pueden realizar por métodos analíticos y/o métodos numéricos.
A partir de la información dinámica obtenida el cálculo prosigue en los moldes habituales de la teoría de las estructuras.

ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS.

El término dinámica puede definirse como una variable en el tiempo por lo que una acción dinámica es aquella que su magnitud, dirección y/o posición varían con el tiempo. De manera similar, la respuesta de una estructura a una acción dinámica, por ejemplo sus esfuerzos, tensiones o desplazamientos, es también variable en el tiempo.
Una diferencia sustancial entre el análisis Estático y el análisis dinámico consiste en que el análisis dinámico no presenta solución, mas bien, hay soluciones diferentes para cada instante de tiempo. La dificultad básica del análisis dinámico proviene del hecho que lasdeformaciones que provocan las fuerzas de inercia, son afectadas por dichas fuerzas, convirtiéndose en un problema cíclico, cuya forma de resolver es formular el problema entérminos de ecuaciones diferenciales.
Debido las los efectos de las acciones externas que varían con el tiempo sobre la estructura.
Los causas de las acciones externas donde el efecto dinámico es relevante, son:
- Acciones ambientales, ondas, sismos, vientos.
- Funcionamientos anormales de los sistemas estructurales.
Las estructuras, cuando están sujetas a cargas o desplazamientos en la base, en realidad actúan dinámicamente, es decir, desarrollan acciones opuestas al movimiento impuesto por tales cargas o desplazamientos. Si éstos son aplicados muy lentamente, las fuerzas de inercia son bastante pequeñas (al ser las aceleraciones muy bajas) y por lo tanto se puede justificar un análisis de tipo estático.
Fundaciones de maquinarias, puentes (acción de frenado e impacto, etc.), accidentes en reacotes nucleares, son acciones externas cuyo efecto es de carácter dinámico.

ANÁLISIS ESTÁTICO DE ESTRUCTURAS.

Un análisis estático por el Método De Los Desplazamientos conduce a un sistema de
ecuaciones algebraicas lineales de la siguiente forma.
~ ~ ~
S× d = f (1.8)
S, d, y f son respectivamente la matriz de rigidez (de la estructura), el vector de desplazamientos y el vector de fuerzas nodales. Esta matriz  S es formada por la acumulación de las contribuciones de rigidez de los diferentes elementos estructurales que corresponden al modelo en el análisis.
La resolución del sistema de ecuaciones anterior, nos da todos los desplazamientos nodales considerados en el modelo. Luego, conociendo los desplazamientos de extremidad de cada elemento estructural y las cargas actuantes en los correspondientes elementos, es posible calcular los esfuerzos solicitantes en una sección transversal cualquiera.
Las reacciones de apoyo pueden ser calculados por composición de los esfuerzos solicitantes de extremidad de los elementos estructurales que inciden en los puntos de vinculación externa.

Minimizar el almacenamiento computacional de los coeficientes nulos de la matriz S es de gran importancia para un análisis estructural eficiente. Por que el almacenamiento de coeficientes nulos, corresponden a desperdiciar posiciones de memoria de computador, que incide en el tiempo de computación; lo cual se cuidaba antes, actualmente la importancia es por su exactitud de la simulación.
En general, una estructura es un conjunto caracterizado por una geometría mas o menos complicada y compuesta por materiales con ecuaciones constitutivas complejas. Un modelo Dinámico daría lugar a soluciones y métodos complejos. La variante primordial entre una carga estática y una dinámica es que esta última es dependiente del tiempo.

Matriz Geométrica y El Efecto P-Delta. (II)

Note que la matriz de rigidez geométrica Kg de 2x2 no es función de las propiedades mecánicas del cable, solamente en función de la longitud del elemento y la fuerza en el elemento. De forma similar se deduce para el comportamiento de un edificio que es igual a.

Donde wi es el peso de la carga muerta total encima del piso i , hi es la altura del piso i .

El desarrollo deducido aquí es completamente equivalente a las aproximaciones más teóricas normalmente usadas para la formulación del incremento de la rigidez en el análisis estructural no-lineal.

De acuerdo a autores como E. L. Wilson, A. Habibullah el incremento del efecto P-Delta debe ser menos del 5% respecto al análisis lineal. De lo contrario la estructura es demasiado flexible.

Matriz Geométrica y El Efecto P-Delta. (I)

La fundamentación de la ecuación para la matriz geométrica para un cable es muy simple de deducir. Consideremos la siguiente figura.

Bases Teóricas Del Efecto P-Delta.

El efecto P-Delta se refiere específicamente a una no-linealidad geométrica como efecto de una gran tensión o compresión, tensionando directamente sobre el comportamiento de la flexión transversal y corte.
El concepto básico del efecto P-Delta vamos a ilustrar con el siguiente ejemplo.

Es importante señalar que todas las deformaciones son asumidos como siendo pequeños. El efecto P-Delta no captura algún cambio en la rigidez axial del miembro, tales como los que ocurren después del pandeo. Para tener esta valoración se requiere la consideración de grandes deformaciones.

Análisis Del Efecto P-Delta

El efecto P-Delta es analizado para todos los elementos reticulares, ya sea en el análisis estático, dinámico o de puentes.
El análisis P-Delta es el efecto de una sobre carga axial sobre el comportamiento de la flexión transversal de los elementos reticulares. La compresión axial reduce la rigidez de flexión de los elementos reticulares y la tracción axial rigidiza estos elementos. Este es un tipo de no-linealidad geométrica conocida como el efecto P-Delta. Se aclara que el análisis P-Delta no incluye los efectos de grandes deformaciones expuestos anteriormente.
Este análisis es particularmente usado para considerar los efectos de las cargas de gravedad sobre la rigidez lateral de edificios, como es requerido por algunos códigos de diseño como el ACI-1995. Pero el uso más adecuado es para el uso de cable, como cubiertas colgantes, puentes colgantes, puentes atirantados, torres rigidizados por cables, etc.
resultados de los análisis incluyendo cargas estáticas, modos de vibración, análisis espectral, líneas de influencia en puentes, cargas móviles, combinaciones de cargas.
El análisis del efecto P-Delta es una Opción que proporciona una poderosa y flexible forma de conocer el comportamiento de edificios, puentes y otras estructuras. Pero es necesario entender los fundamentos y las restricciones para su uso, se resumen las siguientes condiciones.
- El efecto P-Delta se analiza solamente en los elementos reticulares. Pero otros tipos de elementos pueden estar presentes en el modelo.
- Solamente el efecto de una gran deformación de una fuerza axial sobre la flexión transversal y deformación en modo cortante es considerado.
- Todas las deflecciones, desplazamientos lineales y relaciones se asumen que cumplen con la teoría de pequeñas deformaciones.
- La forma de la deformación transversal de un elemento reticular se asume que es cúbico en flexión y lineal en corte entre los trechos rígidos.
- Las cargas axiales del P-Delta son asumidos constantes a lo largo de la longitud del elemento.
Es importante recomendar que inicialmente se debe hacer un análisis lineal del modelo a fin de comparar y corregir cuando se usa el análisis P-Delta.

No-Linealidad De Las Relaciones Tensiones-Deformaciones Específicas.

Esta causa de no linealidad evita el comportamiento, como por ejemplo el material no sigue la ley de Hooke.
Todavía en el caso de flexión compuesta, considerando tanto una linealidad geométrica, como física se tendría.

No-Linealidad De Las Relaciones Deformaciones Especificas Desplazamientos. (II)

Una teoría más rigurosa, en el que adopta la formula exacta de curvatura, conduce a resultados diferentes de la anterior, inclusive en la teoría de pandeo desaparece la solución de “equilibrio indiferente” para P = Pcr. Euler.

No-Linealidad De Las Relaciones Deformaciones Especificas Desplazamientos. (I)

Tenemos como ejemplo la interacción flexión-fuerza axial. En la teoría usualmente expuesto en resistencia de materiales se admite una formula aproximada para la curvatura, que es lineal (pero de 2do Orden).

Para la formula exacta en tanto, no es lineal, pues contiene derivadas elevadas o exponentes diferentes de la unidad.

Influencia del cambio de configuración en la formulación de las ecuaciones de equilibrio. (II)

b) Interacción Entre Flexión y Fuerza Axial.-

Influencia del cambio de configuración en la formulación de las ecuaciones de equilibrio. (I)

a) Viga En Voladizo.-

Condiciones Para aceptar Un Comportamiento Lineal De Estructura.

Tres pueden ser las causas de un “comportamiento no-lineal”. Estando centradas en sus características geométricas y Físicas de la estructura.

Condiciones Geométricas:

1.- Influencia en el cambio de configuración en la formulación de las ecuaciones de equilibrio.
2.- No linealidad de las relaciones deformaciones especificas-desplazamientos.

Condiciones Físicas:

3.- No linealidad de las relaciones tensiones-deformaciones especificas.
Las condiciones para que pueda ser admitido un comportamiento lineal son correspondientemente.
1.- Pequeños desplazamientos.
2.- Pequeñas deformaciones especificas.
3.- Material obedeciendo la “ley de Hooke”.
A continuación se ejemplifica las causas geométricas y físicas para un comportamiento nolineal.

Consideraciones en los Apoyos.

En los apoyos algunos en la totalidad o la totalidad de los grados de libertad son impedidos.
Tales apoyos son “apoyos rígidos”. Apoyos elásticos, funcionando como resortes, no suprimen grados de libertad y no son clasificados como apoyos. Cada grado de libertad suprimido es considerado como 1 apoyo. Por ejemplo un empotramiento perfecto en pórtico plano es considerado como 3 apoyos, que impiden respectivamente 2 desplazamientos lineales y una rotación. Una articulación simple corresponde a dos apoyos que impiden 2 desplazamientos lineales. Una articulación movil, corresponde apenas a un apoyo que impide 1 desplazamiento lineal. En la Figura 1.2 las flechas corresponden a las direcciones de esas reacciones de apoyos (direcciones impedidas).

Así como una estructura es referida a un sistema “global” de ejes cartesianos, la automatización de las operaciones interactivamente en el programa de computador exige que cada elemento-barra sea inicialmente analizado en un “sistema de referencia local”, cuyo eje x es el eje propio del elemento. Posteriormente los resultados de ese análisis de cada elemento son convertidos para el “sistema global de la estructura”, por medio de rotación de ejes, afín de que esta pueda ser analizada como un todo.

Tipos De Estructuras Reticuladas. (III)

Las vigas continuas son tratadas, conforme la conveniencia como pórticos planos o emparrillados (si todas las cargas actúan normalmente a la viga en un mismo plano, como emparrillado; si hay cargas oblicuas o efectos de temperatura, como pórtico plano). A no ser cuando existe impedimento opuesto por un apoyo, los nudos pueden desplazarse en varias direcciones o girar. Esta claro que para imponer un cierto desplazamiento o rotación a un nudo es preciso aplicar una fuerza o momento en ese nudo. Aunque exista resistencia al desplazamiento por parte de la estructura, ese desplazamiento es posible solamente unapoyo rígido torna un desplazamiento imposible. Es muy importante observar que las longitudes de las barras no son invariables, como muchas veces se admite a titulo de
simplificación en el cálculo “manual” (En programas de análisis de estructuras de Edificios Altos; muchas veces se considera a las losas de piso como “Diafragmas Rígidos”). Enconsecuencia del esfuerzo normal, las longitudes de las barras pueden variar. El nudo 2 dela estructura de la Figura 1.1a, por ejemplo puede desplazarse tanto en la direcciónhorizontal, como también en la dirección vertical, dando lugar en este caso, a un acortamiento de la columna que une a los nudos 1 y 2, los desplazamientos de los nudos 2 y5 en la dirección horizontal pueden ser diferentes, correspondiendo esa diferencia alalargamiento o acortamiento de la viga que une los nudos 2 y 5. El nudo 2 también puedegirar entorno a un eje normal al plano de la figura. Se puede ver así que cada nudo de unaestructura de pórtico plano puede presentar 2 desplazamientos lineales en dos direcciones ortogonales correspondientes al sistema de referencia adoptada y una rotación o desplazamiento angular, en torno de un eje perpendicular al plano de la figura. En unpórtico plano existe 3 desplazamientos posibles o “gados de libertad” por nudo, excepto en la direcciones en que esos desplazamientos fueran impedidos por apoyos.
En celosía plana se consideran apenas dos desplazamientos lineales por nudo en el plano.
Como los nudos son articulados, sus rotaciones no son consideradas, pues ningún efecto tendría sobre la estructura. No tiene sentido hablar de rotaciones de nudos en una celosía.
Los esfuerzos Internos considerados en las celosías son en general apenas los esfuerzos normales de tracción y compresión.
En Pórticos planos se consideran dos desplazamientos lineales, en el plano y una rotación en torno del eje normal al plano como “grados de libertad” de los nudos. Los esfuerzos internos son esfuerzos normales, momentos flectores en torno al eje de la sección normal al plano, los esfuerzos cortantes en la dirección del eje de la sección contenida en el plano.
En los emparrillados se consideran por nudo un desplazamiento lineal perpendicular al plano y dos rotaciones en torno de dos ejes ortogonales contenidos en el plano. Los esfuerzos internos son momentos flectores en torno de su eje de sección de su eje de sección contenido en un plano, momentos de torsión (en torno al eje de la pieza) y esfuerzos cortantes en la dirección del eje de la sección normal a su plano. No se consideran esfuerzos normales.
En las celosías espaciales se consideran por nudo tres desplazamientos lineales en tres direcciones ortogonales correspondientes al sistema de referencia adoptado. En general los esfuerzos solicitantes considerados son apenas los esfuerzos normales.
En los pórticos espaciales se consideran por nudo, tres desplazamientos lineales y tres rotaciones, correspondiente a los tres ejes del sistema de referencia adoptado. Los esfuerzos internos son esfuerzos normales, momentos flectores según los dos ejes de sección. Se puede apreciar de esta forma que las estructuras del tipo 1 presentadas en la clasificación de tipos de estructuras reticulares, tienen dos grados de libertad por nudo, los tipos 2, 3 y 4 tres
grados de libertad y los del tipo 5, seis grados de libertad.

Tipos De Estructuras Reticuladas. (II)

En el caso de un nudo “ficticio” al cual concurren dos barras cuyos ejes se sitúan en una misma recta. En la Figura 1.1d, el nudo 3 es “ficticio”. Debiendo tener cuidado; el nudo ficticio 3 no es rotula sino que mas bien tiene continuidad en ese punto, el mismo pórtico es representado en la Figura 1.1b, sin ese nudo.
Las estructuras reticulares son los siguientes tipos:

Planas:

1.- Celosía Plana (nudos articulados, cargas en el plano).
2.- Pórtico Plano (cargas en el plano).
3.- Emparrillado (cargas normales al plano)

Espaciales:

4.- Celosía Espacial (nudos articulados).
5.- Pórtico Espacial.

Tipos De Estructuras Reticuladas. (I)

Una estructura reticulada es idealizada como una asociación de elementos o “miembros”, que son las barras, representadas por sus ejes. Los nudos de estructuras son considerados como puntos, despreciando las perturbaciones locales existentes en las dos extremidades de cada barra y las cercanías de las cargas concentradas. Es así considerada válida en toda la estructura, la hipótesis de secciones planas (Navier-Bernoulli). Gracias a esta hipótesis los esfuerzos internos considerados son los esfuerzos “seccionales” (esfuerzos normales, momentos flectores, esfuerzos cortantes, momentos de torsión). Conocidos estos parámetros, pueden ser fácilmente calculadas las tensiones, en cualquier punto de la sección transversal.
Los desplazamientos considerados son los desplazamientos lineales de los puntos del eje de la barra y las rotaciones de las secciones transversales. Desplazamientos lineales y rotaciones que son “Desplazamientos angulares”, son llamados desplazamientos generalizados.

Las acciones directas que actúan sobre la estructura y también los esfuerzos internos solicitantes, son acciones fuerzas “generalizados” ya que pueden ser fuerzas o “momentos”. Normalmente el punto en que concurren los ejes de dos o más barras es llamado nudo. Esta noción de nudo es entonces generalizado, designándose también como nudo la extremidad libre de una pieza en “voladizo” y también la extremidad de una barra vinculada a un apoyo. A parte de esto se pueden crear, cuando fuera conveniente, nudos llamados “ficticios”, dividiendo una misma barra en dos o más elementos.

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS. (II)

Las estructuras reticuladas son estructuras constituidas por elementos tipo barra, esto es por piezas alargadas, con una dimensión preponderante. Estas piezas pueden ser de eje recto o curvo, y de sección transversal constante o variable.
En el caso de que habría dos direcciones preponderantes, la estructura es clasificado como laminar (placas, laminas y cáscaras).
Las placas y láminas son planas, siendo que en las placas actúan cargas perpendiculares a su plano y en las láminas las cargas están situadas en su propio plano medio.
Cuando todas las dimensiones son de una misma orden de grandeza, la estructura es clasificada como tridimensional (bloques). La antigua designación “pieza lineal” para las barras y “estructura lineal” para las estructuras compuestas de barras, a entrado en desuso, para que no haya confusión entre “lineal” con el sentido de “una dimensión preponderante” y “comportamiento lineal”, caso bien diferente.
El análisis matricial de estructuras tiene como objetivo un análisis estático, lineal, de estructuras reticuladas.
En análisis estático lineal de estructuras laminares y tridimensionales es hecha por “métodos numéricos”, el método de los “elementos finitos”.
Un análisis dinámico o un análisis no-lineal tanto de estas estructuras, como las estructuras reticuladas, puede también ser hecha por el método de los elementos finitos.
En casos especiales pueden ser obtenidos soluciones analíticas o cerradas, aplicando teorías clasificadas como “rigurosas” o “clásicas” sin embargo muchas veces apenas aproximadas, en estos casos; se evita de adoptar los métodos numéricos que son siempre aproximados. Las estructuras de comportamiento lineal son aquellas en que siendo los efectos (respuesta) proporcionales a las causas (solicitaciones), es verificado el principio de superposición de
los efectos.
En un análisis lineal se parte de la hipótesis de que el comportamiento de la estructura es lineal. En realidad un comportamiento lineal es un comportamiento-limite, para el cual el comportamiento de la estructura cuando los desplazamientos y las deformaciones especificas tienden a cero. La gran mayoría de los análisis estructurales hechas corrientemente en ingeniería civil son del tipo lineal y los errores cometidos al hacer esaaproximación son poco significativos, en estos casos. Posteriormente serán estudiados las causas de no linealidad y las condiciones para que pueda ser admitida un comportamiento lineal.

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS. (I)

El objetivo del análisis de estructuras reticulares es; dadas las características geométricas y mecánicas de una estructura, sus condiciones de apoyo y las acciones que le solicitan, determinar los desplazamientos de todos los puntos y los esfuerzos internos.
Las acciones solicitantes pueden ser directas, estas son fuerzas (cargas) o pueden ser indirectas (deformaciones impuestas).Los esfuerzos internos son las tensiones y en el caso de estructuras reticuladas, los esfuerzos internos solicitantes (esfuerzos normales, momentos flectores, esfuerzos cortantes, momentos de torsión).
Las deformaciones impuestas pueden ser desplazamientos impuestos (tales como descenso de apoyo) que ocasionan cambio de forma, o deformación especificas debidas a variación de temperatura, retracción, etc. Las acciones pueden ser permanentes o variables con respecto al tiempo, siendo que estas se clasifican como estáticas o mejor (“seudo-estáticas”) o dinámicas. Las aceleraciones, fuerza de inercia y energía cinética son muy pequeños y no se consideran en el análisis, en el caso de acciones “seudo-estáticas”. Muchas veces ciertas acciones dinámicas son tratadas de modo simplificado como si fuesen “seudo-estáticas” y el error cometido es corregido de modo aproximado por la aplicación de un coeficiente de impacto. Un análisis estructural puede ser estático o dinámico y también lineal o no-lineal.
Por lo anterior mencionado, en un análisis lineal se admite un comportamiento aproximadamente lineal de la estructura, caracterizado por la proporcionalidad entre causas (acciones) y efectos (desplazamientos y esfuerzos internos). El conjunto de estos efectos se llama una respuesta de la estructura a las acciones que la solicitan.

Un análisis Dinámico puede ser deterministica o aleatoria. Por ejemplo, cuando se hace un análisis simplificado de una estructura offshore se admite que es solicitado por una onda monocromática con una altura y periodo definidos, ese análisis es llamado “deterministica”.
Si se considera que la estructura es solicitada por un “estado de mar” mucho más complejo, definido por parámetros estadísticos (altura de onda “significativa”, periodo medio “espectro” asociado con un análisis de Fourier), el análisis es llamado “aleatorio”.